Adiciona slides da poisson generalizada.

parent 73f262b8
<<setup-child, include=FALSE>>=
set_parent("slides-mrdcr.Rnw")
@
\begin{frame}{A distribuição de probabilidade}
\begin{itemize}
\item Introduzida por \cite{ConsulJain1997} e estudada em detalhes por
\cite{Consul1989}
\item Modela casos de superdispersão e subdispersão.
\item A Poisson é um caso particular.
\item Se $Y \sim $ Poisson Generalizada,
sua função de probabilidade é
\begin{equation*}
f(y) =
\begin{cases}
\theta (\theta + \gamma y)^{y - 1}
\exp\{-(\theta + \gamma y)\}, &
y = 0, 1, 2, \ldots \\
0, &
y > m \text{ quando } \gamma < 0.
\end{cases}
\end{equation*}
\item $\theta > 0$.
\item $\max\{-1, -\theta/m\} < \gamma < 1$.
\item $m$ é maior inteiro positivo para o qual $\theta + m\gamma >
0$ quando $\gamma$ é negativo.
\item {Note que o espaço paramétrico de $\gamma$ é dependente do
parâmetro $\theta$}.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Propriedades da Poisson Generalizada}
Média e variância
\begin{itemize}
\item $\text{E}(Y) = \theta (1 - \gamma)^{-1}$.
\item $\text{V}(Y) = \theta (1 - \gamma)^{-3}$.
\end{itemize}
Relação média-variância
\begin{itemize}
\item Superdispersa se $ \gamma > 0$.
\item Subdispersa se $\gamma < 0$.
\end{itemize}
Quando $\gamma = 0$ a Poisson Generalizada reduz a distribuição
Poisson e, portanto, apresenta equidispersão.
\end{frame}
\begin{frame}{Parametrização de média para modelo de regressão}
Defina
\begin{equation*}
\theta = \dfrac{\lambda}{1+\alpha\lambda}, \qquad
\gamma = \alpha \dfrac{\lambda}{1+\alpha\lambda}.
\end{equation*}
Ao substituir na função densidade, tem-se
\begin{equation*}
f(y) = \left( \dfrac{\lambda}{1+\alpha\lambda} \right)^{y}
\frac{(1+\alpha y)^{y-1}}{y!}
\exp\left\{-\lambda \frac{(1+\alpha y)}{(1+\alpha \lambda)}\right\}.
\end{equation*}
\begin{itemize}
\item $\text{E}(y) = \lambda$,
\item $\text{V}(y) = \lambda (1+\alpha \lambda)^2$.
\item Superdispersa se $\alpha > 0$,
\item Subdispersa se $\alpha < 0$.
\item Poisson se $\alpha = 0$.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Restrições no espaço paramétrico}
\begin{itemize}
\item $\lambda > 0.$
\item $1+\alpha\lambda > 0.$
\item $1+\alpha y > 0.$
\end{itemize}
Considerando uma amostra aleteatória de $y_i$ e valores conhecidos de
$\lambda_i$, $i = 1,2,\ldots$, as restrições combinadas sobre $\alpha$
resultam em
\begin{equation}
\alpha > \min \left\{ \frac{-1}{\max(y_i)},
\frac{-1}{\max(\lambda_i)} \right\},\quad
\text{ quando } \alpha < 0.
\end{equation}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Função de log-verossimilhança}
Considerando uma amostra aleatória $y_i, i=1,2,\ldots,n$, a
verossimilhança é
\begin{equation}
L(y; \lambda, \alpha) =
\prod_{i=1}^{n} \left(
\frac{\lambda}{1+\alpha\lambda}\right)^{y}
\frac{(1+\alpha y_{i})^{y_{i}-1}}{y_{i}!}
\exp\left\{-\lambda\frac{(1+\alpha y_{i})}{
(1+\alpha\lambda)}\right\}.
\end{equation}
A função de log-verossimilhança é
\begin{equation}
\ell(y; \lambda, \alpha) =
\sum_{i=1}^{n} y_{i}\ln(\lambda)-
\ln(1+\alpha\lambda)+
(y_{i}-1)\ln(1+\alpha y)-
\lambda\frac{(1+\alpha y_{i})}{(1+\alpha\lambda)}-
\ln(y_{i}!)
\end{equation}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Implementação da log-verossimilhança}
<<echo = TRUE>>=
library(MRDCr)
llpgnz
@
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
<<fig.width = 9, fig.height = 4.5, out.width = "0.95\\textwidth">>=
grid <- expand.grid(lambda = c(2, 8, 15),
alpha = c(-0.05, 0, 0.05))
y <- 0:35
py <- mapply(FUN = dpgnz,
lambda = grid$lambda,
alpha = grid$alpha,
MoreArgs = list(y = y), SIMPLIFY = FALSE)
grid <- cbind(grid[rep(1:nrow(grid), each = length(y)), ],
y = y,
py = unlist(py))
useOuterStrips(xyplot(py ~ y | factor(lambda) + factor(alpha),
ylab = expression(f(y)),
xlab = expression(y),
data = grid, type = "h",
panel = function(x, y, ...) {
m <- sum(x * y)
panel.xyplot(x, y, ...)
panel.abline(v = m, lty = 2)
}),
strip = strip.custom(
strip.names = TRUE,
var.name = expression(lambda == ""),
sep = ""),
strip.left = strip.custom(
strip.names = TRUE,
var.name = expression(alpha == ""),
sep = ""))
@
\end{frame}
\begin{frame}{Estudos de caso}
{\it Vignette} \href{run:../doc/v04_poisson_generalizada.html}{\tt
poisson\_generalizada.html}
\begin{description}
\item[\tt soja]: Número de vagens, de grãos e de grãos por vagem.
\item[\tt capdesfo]: Número de capulhos produzidos em algodão.
\item[\tt nematoide]: Número de nematoides em raízes de linhagens de
feijoeiro.
\end{description}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Conclusões}
TODO
\end{frame}
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