Commit 12b1250b authored by Eduardo E. R. Junior's avatar Eduardo E. R. Junior

Adiciona slides referentes ao modelo COM-Poisson

parent 072aad04
\begin{frame}[allowframebreaks]{Distribuiçao COM-Poisson}
\begin{itemize}
\item Nome COM-Poisson, advém de seus autores {\bf CO}nway e
{\bf M}axwell (também é chamada de distribuição
Conway-Maxwell-Poisson).
\item Proposta em um contexto de filas \cite{Conway1962},
essa distribuição generaliza a Poisson com a adição de um parâmetro.
\end{itemize}
\begin{block}{Razão de probabilidades consecutivas}
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item {\bf Distribuição Poisson}\\
$$\frac{P(Y = y-1)}{P(Y = y)} = \frac{y}{\lambda}$$
\item {\bf Distribuição COM-Poisson}\\
$$\frac{P(Y = y-1)}{P(Y = y)} = \frac{y^\nu}{\lambda}$$
\end{itemize}
\end{multicols}
\end{block}
\framebreak
\begin{block}{Densidade de probabilidade}
\begin{center}
\begin{equation*}
\Pr(Y = y \mid \lambda, \nu) = \frac{\lambda^y}{(y!)^\nu
Z(\lambda, \nu)}, \quad \textrm{em que }\, Z(\lambda, \nu) =
\sum_{j=0}^\infty \frac{\lambda^j}{(j!)^\nu} \textrm{; e}\quad
\lambda > 0, \, \nu \geq 0
\end{equation*}
\end{center}
\end{block}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\column{.48\textwidth}
\begin{block}{Propriedades}
\begin{itemize}
\itemsep7.5pt\parskip0pt\parsep0pt
\item $\frac{P(Y = y - 1)}{P(Y = y)} = \frac{y^\nu}{\lambda}$
\item $E(Y) \approx \lambda ^ \frac{1}{\nu} - \frac{\nu - 1}{2\nu}$
\item $V(Y) \approx \frac{1}{\nu}E(Y)$
\end{itemize}
\end{block}
\column{.48\textwidth}
\begin{block}{Casos particulares}
\begin{itemize}
\item Distribuição Poisson, quando $\nu = 1$
\item Distribuição Bernoulli, quando $\nu \rightarrow \infty$
\item Distribuição Geométrica, quando $\nu = 0,\ \lambda < 1$
\end{itemize}
\end{block}
\end{columns}
\framebreak
<<>>=
library(latticeExtra)
library(grid)
library(compoisson)
cols <- c(4, 1)
## Parametros da distribuição
lambdas <- c(1.36, 8, 915); nus <- c(0.4, 1, 2.5)
medias <- mapply(com.mean, lambda = lambdas, nu = nus)
variancias <- mapply(com.var, lambda = lambdas, nu = nus)
## Calculando as probabilidades
y <- 0:30; yy <- rep(y, 3)
py.com <- py.pois <- NULL
for(i in 1:3) py.com <- c(py.com, dcom(y, lambdas[i], nus[i]))
for(i in 1:3) py.pois <- c(py.pois, dpois(y, medias[i]))
## Criando categorias para split da lattice
caso <- rep(c("1", "2", "3"), each = length(y))
fl <- expression(lambda == 1.36~","~nu == 0.4,
lambda == 8~","~nu == 1,
lambda == 915~","~nu == 2.5)
xyplot(py.com ~ c(yy - 0.14) | caso, type = c("h", "g"),
lwd = 2.5, xlab = "y", ylab = expression(P(Y == y)),
col = cols[2], ylim = c(-0.040, 0.25), xlim = extendrange(y),
key = list(
columns = 2,
lines = list(lty=1, col = c(cols[1], cols[2]), lwd = 3),
text = list(c("Poisson", "COM-Poisson"))),
layout = c(NA, 1),
between = list(x = 0.2, y = 0.3),
strip = strip.custom(factor.levels = fl)) +
as.layer(xyplot(py.pois ~ c(yy + 0.14) | caso,
lwd = 2.5, col = cols[1],
type = "h"))
for(i in 1:3){
trellis.focus("panel", i, 1, highlight=FALSE)
grid.text(label = sprintf("E[Y]: %.1f\nV[Y]: %.1f",
medias[i], variancias[i]),
x = .62, y = 0.02,
default.units = "npc",
gp = gpar(col = cols[2]),
just = c("left", "bottom"))
grid.text(label = sprintf("E[Y]: %.1f\nV[Y]: %.1f",
medias[i], medias[i]),
x = .08, y = 0.02,
default.units = "npc",
gp = gpar(col = cols[1]),
just = c("left", "bottom"))
}
trellis.unfocus()
@
\end{frame}
\begin{frame}{Casos Particulares}
\begin{columns}[t]
\begin{column}{.3\textwidth}
\vspace{1cm}
\begin{itemize}
\setbeamercovered{transparent=35}
\uncover<1>{\item Poisson $\nu = 1$}
\uncover<2>{\item Bernoulli $\nu \rightarrow \infty$}
\uncover<3>{\item Geométrica $\nu = 0,\, \lambda < 1$}
\end{itemize}
\vspace{1cm}
\end{column}
\begin{column}{.7\textwidth}
\vspace{0.5cm}
\only<1>{
\vspace{-1.1cm}
<<fig.height=5, fig.width=7>>=
##-------------------------------------------
## Poisson
rm(list = ls())
y <- 0:10
py <- dcom(y, 5, 1)
xyplot(py ~ y, type = c("h", "g"),
lwd = 4, xlab = "y", ylab = "",
main = expression(~"COM-Poisson"~(~lambda==5~","~nu==1)))
@
}
\only<2>{
\vspace{-1.1cm}
<<fig.height=5, fig.width=7>>=
##-------------------------------------------
## Bernoulli
rm(list = ls())
y <- 0:2
py <- dcom(y, 3, 20)
xyplot(py ~ y, type = c("h", "g"),
lwd = 4, xlab = "y", ylab = "",
main = expression(~"COM-Poisson"~(~lambda==3~","~nu==20)))
@
}
\only<3>{
\vspace{-1.1cm}
<<fig.height=5, fig.width=7>>=
##-------------------------------------------
## Geometrica
rm(list = ls())
y <- 0:6
py <- dcom(y, 0.5, 0)
xyplot(py ~ y, type = c("h", "g"),
lwd = 4, xlab = "y", ylab = "",
main = expression(~"COM-Poisson"~(~lambda==0.5~","~nu==0)))
@
}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}{Modelo de Regressão COM-Poisson}
\begin{itemize}
\item Incorporando covariáveis em $\lambda$ da forma
$\lambda_i = \exp(X_i \beta)$, em que $X_i$ é o vetor de covariáveis do
i-ésimo indivíduo e $\beta$ o vetor de parâmetros.
\end{itemize}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\column{.38\textwidth}
\begin{block}{Função de verossimilhança}
\begin{align*}
L(\lambda, \nu ; \underline{y}) &= \prod_i^n \left (
\frac{\lambda_i^{y_i}}{(y_i !)^\nu} Z(\lambda_i, \nu)^{-1}
\right ) \\
&= \lambda_i^{\sum_i^n y_i}\prod_i^n
\frac{Z(\lambda_i, \nu)^{-1}}{(y_i !)^\nu}\\
\end{align*}
\end{block}
\column{.58\textwidth}
\begin{block}{Função de log-verossimilhança}
\begin{align*}
l(\lambda, \nu, \underline{y}) &= \log \left (
\lambda_i^{\sum_i^n y_i}\prod_i^n
\frac{Z(\lambda_i, \nu)^{-1}}{(y_i !)^\nu} \right ) \\
&= \sum_i^n y_i \log(\lambda_i) - \nu \sum_i^n \log(y!) -
\sum_i^n \log(Z(\lambda_i, \nu))\\
\end{align*}
\end{block}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}{Estudos de caso}
{\it Vignette} \href{run:../doc/v01_poisson.html}{\tt compoisson.html}
\begin{description}
\item[\tt capdesfo]: número de capulhos sob efeito de desfolha (sub)
\item[\tt capmosca]: número de capulhos sob exposição à mosca branca (sub)
\item[\tt ninfas]: número de ninfas de mosca branca em plantas de soja (super)
\end{description}
\end{frame}
Markdown is supported
0% or
You are about to add 0 people to the discussion. Proceed with caution.
Finish editing this message first!
Please register or to comment