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\begin{document}
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}
% Titulo
\title[\sc{MRCR}]{Modelos de Regressão para Dados de Contagens com o R}
\author[Zeviani, W.M.; Ribeiro Jr, E.E.; Taconeli, C.A.]{Walmes Marques Zeviani, Eduardo Elias Ribeiro Junior, Cesar Augusto Taconeli}
\institute{Universidade Federal do Paraná} % opcional
\date{\today}
\begin{frame}{Conteúdo}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item Introdução
\item Modelos Lineares Generalizados
\item Modelo de Regressão Poisson
\item Modelo de Quase-Verossimilhança
\item Modelos Paramétricos Alternativos
\begin{enumerate}
\item Modelo Binomial Negativo
\item Modelo Poisson Generalizado
\item Modelo COM-Poisson
\item Modelo Gamma-Count
\end{enumerate}
\item Modelos para Excesso de Zeros
\begin{enumerate}
\item Modelos de Barreira (Hurdle)
\item Modelos de Mistura (Zero Inflated)
\end{enumerate}
\item Modelos com Efeitos Aleatórios
\end{enumerate}
\end{multicols}
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}
\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}
......@@ -220,7 +243,7 @@ aquém, em quantidade e diversidade, em relação ao verificado para dados cont
%%% Slide 5
\begin{frame}{Limitações do modelo de regressão com erros normais na análise de dados de contagens}
\begin{frame}{Regressão com erros normais na análise de dados de contagens}
\vspace{0,5cm}
......@@ -244,7 +267,7 @@ aquém, em quantidade e diversidade, em relação ao verificado para dados cont
%%% Slide 6
\begin{frame}{Limitações do modelo de regressão com erros normais na análise de dados de contagens}
\begin{frame}{Regressão com erros normais na análise de dados de contagens}
\vspace{0,2cm}
......@@ -343,7 +366,7 @@ $$
$$
\epsilon =\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{P\left \{ \text{evento ocorrer em} \left ( t,t+\Delta t \right ) \right \}}{\Delta t},
\lambda (t) =\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{P\left \{ \text{evento ocorrer em} \left ( t,t+\Delta t \right ) \right \}}{\Delta t},
$$
\vspace{0,3cm}
......@@ -430,7 +453,7 @@ Dentre as principais propriedades da distribuição de Poisson, tem-se:
%%% Slide 13
\begin{frame}{Ilustração}
\begin{frame}{Distribuição Poisson para diferentes valores de $\mu$}
\begin{figure}[h]
\includegraphics[height=6cm,width=9cm]{images/graf1.pdf}
......@@ -783,6 +806,26 @@ com $\boldsymbol{I^{-1}(\boldsymbol{\beta})}=Var(\boldsymbol{\hat{\beta}})=\phi
%%%-----------------------------------------------------------------------------------------
%%% Slide 32
\begin{frame}{Modelo Linear Generalizado}
\begin{itemize}
\item O parâmetro de dispersão, $\phi$, pode ser estimado usando o método de momentos, resultando em:
\vspace{0.5cm}
$$ \hat{\phi}=\frac{\sum_{i=1}^{n} (y_{i}-\hat{\mu}_{i})^{2}}{n-p}. $$
\end{itemize}
\end{frame}
%%%-----------------------------------------------------------------------------------------
%%% Slide 18
......@@ -994,33 +1037,7 @@ $$U(\boldsymbol{\beta}) =\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-exp(\boldsymbol{x'_{i}\beta}))\bol
\item As equações de estimação via quase-verossimilhança, neste caso, são idênticas às obtidas com base na verossimilhança da regressão Poisson.
\end{itemize}
\end{frame}
%%%-----------------------------------------------------------------------------------------
%%% Slide 41
\begin{frame}{Modelo Linear Generalizado - Quase-Verossimilhança}
\begin{itemize}
\item Como principais alternativas para definição de $V(\mu)$, podemos considerar proporcionalidade em relação a alguma potência de $\mu$, como $V(\mu) \text{ } \propto \text{ } \mu$; $V(\mu)\text{ } \propto \text{ } \mu^2$ e $V(\mu) \text{ } \propto \text{ } \mu^3$.
\vspace{0.5cm}
\item O parâmetro de dispersão, $\phi$, pode ser estimado usando o método de momentos, resultando em:
\vspace{0.5cm}
$$ \hat{\phi}=\frac{\sum_{i=1}^{n} (y_{i}-\hat{\mu}_{i})^{2}}{n-p}. $$
\item Como principais alternativas para definição de $V(\mu)$, podemos considerar proporcionalidade em relação a alguma potência de $\mu$, como $V(\mu) \text{ } \propto \text{ } \mu$ e $V(\mu)\text{ } \propto \text{ } \mu^2$.
\end{itemize}
......@@ -1029,69 +1046,19 @@ $$ \hat{\phi}=\frac{\sum_{i=1}^{n} (y_{i}-\hat{\mu}_{i})^{2}}{n-p}. $$
%%% Slide 43
\begin{frame}{Modelo Linear Generalizado - Pseudo Máxima Verossimilhança}
\begin{itemize}
\item Para se prevenir de possível especificação incorreta da variância, podemos estimar $Var(\boldsymbol{\hat{\beta}})$ de forma robusta usando um estimador do tipo sanduíche.
\vspace{0.5cm}
\item Suponha que a média do modelo seja corretamente especificada, mas a função de variância escolhida $(\tilde{V})$ seja diferente da verdadeira $V$.
\vspace{0.5cm}
\item Nesse caso, $ Var(\boldsymbol{\hat{\beta}}) \neq \phi \boldsymbol{(D'\tilde{V}^{-1}D)} ^{-1}$, uma vez que $\tilde{V} \neq \ V$.
\end{itemize}
\end{frame}
%%%-----------------------------------------------------------------------------------------
%%% Slide 44
\begin{frame}{Modelo Linear Generalizado - Pseudo Máxima Verossimilhança}
\begin{itemize}
\item Uma forma robusta de proceder a estimação de $ Var(\boldsymbol{\hat{\beta}})$ é com base em:
$$ Var_{Rb}(\boldsymbol{\hat{\beta}})=
\boldsymbol{(D'\tilde{V}^{-1}D)} ^{-1}
\boldsymbol{(D'\tilde{V}^{-1}E\tilde{V}^{-1}D)}
\boldsymbol{(D'\tilde{V}^{-1}D)} ^{-1},$$
em que
$$ \boldsymbol{E} = diag\{(y_1-\mu_1)^2,(y_2-\mu_2)^2,...,(y_n-\mu_n)^2\}$$
\vspace{0.5cm}
\item O estimador sanduíche é resultante da avaliação de $Var_{Rb}$ em $\boldsymbol{\hat{\beta}}$, sendo consistente mesmo quando $\tilde{V} \neq\ V.$
\end{itemize}
\end{frame}
%%%-----------------------------------------------------------------------------------------
%%% Slide45
\begin{frame}{Modelo Linear Generalizado - Pseudo Máxima Verossimilhança}
\begin{frame}{Modelo Linear Generalizado - Quase Verossimilhança}
\begin{itemize}
\item Para a regressão Poisson:
$$
Var(\boldsymbol{\hat{\beta}_{PQL}})=\left [ \sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{x_{i}x'_{i}}\mu_{i} \right ]^{-1}
Var(\boldsymbol{\hat{\beta}_{QL}})=\left [ \sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{x_{i}x'_{i}}\mu_{i} \right ]^{-1}
\sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{x_{i}x'_{i}} \omega_{i} \left [ \sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{x_{i}x'_{i}}\mu_{i} \right ]^{-1},
$$
......@@ -1099,8 +1066,7 @@ com $\mu_{i}=exp({\boldsymbol{x'_{i}\beta}})$ e $\omega_{i}=Var(y_{i}|\boldsymbo
\vspace{0.5cm}
\item Podemos considerar $\omega_i=V(\mu_i;\phi)$ ou, simplesmente, o estimador robusto, baseado em $\omega_i=(y_i-\mu_i)^2$.
\item Podemos considerar $\omega_i=V(\mu_i;\phi)$, como $\omega_i \propto \mu_i$, $\omega_i \propto \mu_i^2$ ou, simplesmente, o estimador robusto, baseado em $\omega_i=(y_i-\mu_i)^2$.
\end{itemize}
......@@ -1159,11 +1125,10 @@ $$
\vspace{0.5cm}
sendo $r=\alpha$ e $p=(\mu/\alpha)/(1+\mu/\alpha),$ com $0<p<1$ e $r>0$.
sendo $r=\alpha$ e $p=\mu/(\mu+\alpha),$ com $0<p<1$ e $r>0$.
\vspace{0.5cm}
\item Modelagem do número de "sucessos" até o r-ésimo "fracasso",
configurando uma generalização da distribuição geométrica.
\item Modelagem do número de "sucessos" até o r-ésimo "fracasso" ($r = 1,2,3,...$), configurando uma generalização da distribuição geométrica (para $r=1$).
\vspace{0.5cm}
......@@ -1183,18 +1148,17 @@ configurando uma generalização da distribuição geométrica.
\begin{itemize}
\item A principal motivação para a distribuição binomial negativa baseia-se num processo de contagem heterogêneo, em que $Y \sim Poisson( \mu \nu)$ e $\nu$ tem distribuição $Gama(\alpha, \beta):$
\item A principal motivação para a distribuição binomial negativa baseia-se num processo de contagem heterogêneo, em que $Y \sim Poisson( \theta)$ e $\theta$ tem distribuição $Gama(\alpha, \beta):$
$$
g\left ( \nu;\alpha,\beta \right )=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma\left ( \alpha \right )}\nu^{\alpha-1}e^{-\beta \nu},\quad \alpha, \beta, \nu>0,
g\left ( \theta;\alpha,\beta \right )=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma\left ( \alpha \right )}\theta^{\alpha-1}e^{-\beta \theta},\quad \alpha, \beta, \nu>0,
$$
com $E(\nu)=\theta=\alpha /\beta$ e variância $Var(\nu)=\alpha /\beta^2.$
com $E(\theta)=\theta=\alpha /\beta$ e variância $Var(\theta)=\alpha /\beta^2.$
\vspace{0.5cm}
\item Como resultado, temos uma mistura Poisson-Gamma, resultando, marginalmente, na distribuição binomial negativa.
\item Como resultado, temos uma mistura Poisson-Gamma, resultando, marginalmente (em relação a $\theta$), na distribuição binomial negativa.
\end{itemize}
......@@ -1211,7 +1175,7 @@ com $E(\nu)=\theta=\alpha /\beta$ e variância $Var(\nu)=\alpha /\beta^2.$
\begin{figure}[h]
\includegraphics[height=5.5cm,width=9cm]{images/graf2.pdf}
\caption{Distribuição binomial para $\mu=2$ e diferentes valores de $\alpha}.
\caption{Distribuição binomial para $\mu=2$ e diferentes valores de $\alpha.}
\label{Fig1}
\centering
......
......@@ -28,7 +28,7 @@ corporal do animal ao longo do período de observação.
```{r, echo = FALSE, include=FALSE}
##### Carregamento e tratamento inicial dos dados
setwd("~/Desktop")
dados <- read.csv('Dadoscomp.csv',sep=',')
dados$tratamento <- factor(dados$tratamento)
levels(dados$tratamento) <- c('Observ', 'Observ + Interv')
......
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