Adiciona método da aceitação e rejeição.

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href: slides/03-gna-uniforme.pdf href: slides/03-gna-uniforme.pdf
- text: "GNA de v.a. não uniformes" - text: "GNA de v.a. não uniformes"
href: slides/04-gna-nao-uniforme.pdf href: slides/04-gna-nao-uniforme.pdf
- text: "GNA com o met. da aceitação-rejeição"
href: slides/05-met-ac-rej.pdf
- text: "----------" - text: "----------"
- text: "Arquivos complementares" - text: "Arquivos complementares"
- text: "GNA Uniformes (2015)" - text: "GNA Uniformes (2015)"
href: http://leg.ufpr.br/~walmes/ensino/ce089-2015-02/aula02_gna-2015-02.html href: http://leg.ufpr.br/~walmes/ensino/ce089-2015-02/aula02_gna-2015-02.html
- text: "MTIP (2015)" - text: "MTIP (2015)"
href: http://www.leg.ufpr.br/~walmes/ensino/ce089-2015-02/aula03_tip-2015-02.html href: http://www.leg.ufpr.br/~walmes/ensino/ce089-2015-02/aula03_tip-2015-02.html
- text: "Met. ac-rej (2017)"
href: ./tutoriais/06-met-ac-rej.html
# - text: "Estruturas de controle" # - text: "Estruturas de controle"
# href: slides/01-estru-repet.html # href: slides/01-estru-repet.html
# - text: "Teorema da Transformação da Probabilidade" # - text: "Teorema da Transformação da Probabilidade"
......
%-----------------------------------------------------------------------
\documentclass[serif, professionalfont, usenames, dvipsnames]{beamer}
\usepackage[T1]{fontenc}
% ATTENTION: preamble.tex contains all style definitions.
\input{config/preamble.tex}
% \usepackage[backend=bibtex, style=authoryear]{biblatex}
\addbibresource{config/refs.bib}
<<include = FALSE>>=
source("config/setup.R")
@
%-----------------------------------------------------------------------
\title{GNA pelo método da aceitação e rejeição}
\subtitle{Importância, algorítmo e implementação}
\date{\small{ \Sexpr{sprintf('Atualizado em %s', Sys.Date())}}}
%-----------------------------------------------------------------------
\begin{document}
{\setbeamertemplate{footline}{}
\frame{\titlepage} %--------------------------------------------------
}
\begin{frame}{}
{\large Justificativas}
\begin{itemize}
\item A GNA pelo MTIP nem sempre é possível por causa da não
existência de $F_X^{-1}(.)$.
\item O métoda da aceitação-rejeição é aplicável quando a se possui a
função de densidade de probabilidade ou de probabibilidade.
\end{itemize}
{\large Objetivos}
\begin{itemize}
\item Apresentar o método da aceitação-rejeição.
\item Descrever e implementar o algorítmo.
\end{itemize}
\end{frame}
%-----------------------------------------------------------------------
\begin{frame}{O algoritmo}
Objetivo: obter uma amostra aleatória da variável aleatória $X$ que
tem distribuição representada pela função de densidade é $f_{X}(x)$.
\begin{enumerate}
\item Encontrar uma v.a. $Y$ candidata, com função de densidade
$f_{Y}(y)$, da qual se possui GNA e cujo suporte contenha o suporte
de $X$.
\item Encontrar o valor $M$ tal que $f_{X}(x) \leq M f_{Y}(x)$ para
todo valor de $x$ no suporte de $X$.
\item Gerar uma realização de $y$ da distribuição candidata cuja
função de densidade é $f_{Y}(y)$.
\item Gerar uma realização de $u$ da distribuição $U(0, 1)$.
\item Se $u \leq f_{X}(y)/(M f_{Y}(y))$, fazer com que $x = y$, caso contrário, repetir de 3--5.
\item Repetir 3--5 o número necessário de vezes para ter uma amostra
de $X$ de tamanho $n$.
\end{enumerate}
\end{frame}
%-----------------------------------------------------------------------
\begin{frame}{Exemplo: Gerar números da triangular usando a uniforme}
\begin{itemize}
\item Considere que $X$ tenha distribuição triangular com função de
densidade
\begin{equation}
f_X(x, a, b, c) = \begin{cases}
\dfrac{2 (x - a)}{(b - a) (c - a)}, & a < x \leq c \\
\dfrac{2 (b - x)}{(b - a) (b - c)}, & c < x < b \\
0 & \text{casos contr\'arios}.
\end{cases}
\end{equation}
\item Gerar números de $X \sim f_{X}(x, a = -b, b = 1, c = 0)$ usando
como v.a. candidata $Y \sim U(t, v)$ cuja densidade é
\begin{equation}
f_Y(y) = \frac{1}{v - t} \cdot I(t < y < v)
\end{equation}
\item Para que o suporte de $Y$ contenha o suporte de $X$, $t = -b$ e
$v = b$.
\item Para que $f_{X}(x) \leq Mf_{Y}(x)$ para todo $x$, o valor de $M = 2$.
\end{itemize}
\end{frame}
%-----------------------------------------------------------------------
\begin{frame}[fragile, allowframebreaks]{Implementação em R}
<<include = TRUE, eval = FALSE>>=
# Densidade da X, distribuição alvo.
f_X <- function(x, r) {
b <- r; a <- -r; c <- 0
f <- 0 + 2 * (x - a)/((b - a) * (c - a)) * (x <= c) * (x > a) +
2 * (b - x)/((b - a) * (b - c)) * (x > c) * (x < b)
return(f)
}
# Densidade da Y, distribuição candidata.
f_Y <- function(y, r) {
f <- 1/(2 * r) * (y > -r) * (y < r)
return(f)
}
# Gráficos.
curve(f_X(x, r = 1), from = -1, to = 1)
curve(f_Y(y, r = 1), xname = "y", add = TRUE, col = 2, lty = 2)
curve(2 * f_Y(y, r = 1), xname = "y", add = TRUE, col = 2)
@
\framebreak
<<eval = FALSE>>=
M <- 2
n <- 10000
x <- numeric(n)
i <- 1
k <- 1
while (i <= n) {
y <- runif(1, min = -1, max = 1)
u <- runif(1)
ratio <- f_X(y, r = 1)/(M * f_Y(y, r = 1))
if (u < ratio) {
x[i] <- y
i <- i + 1
}
k <- k + 1
}
n/k # Proporção de aceitação.
plot(ecdf(x)) # Acumulada empírica.
plot(density(x, from = -1, to = 1)) # Dens. empírica.
curve(f_X(x, r = 1), add = TRUE, col = 2) # Dens. teórica.
@
\end{frame}
%-----------------------------------------------------------------------
\begin{frame}{Complementos}
\begin{itemize}
\item Exercício: Gerar de $X \sim \text{Triangular}$ usando $Y \sim \text{Beta}$.
\item Exercício: Gerar de $X \sim \text{Cauchy}$ usando $Y \sim \text{Normal}$.
\item Veja a animação que ilustra o método: \url{http://leg.ufpr.br/~walmes/ensino/EC2/tutoriais/06-met-ac-rej.html}.
\end{itemize}
\end{frame}
%-----------------------------------------------------------------------
\begin{frame}{Questões}
\begin{itemize}
\item O que considerar ao escolher uma v.a. candidata?
\item Como melhorar a taxa de aceitação do método?
\item Como fazer para v.a. discretas?
\end{itemize}
\end{frame}
%-----------------------------------------------------------------------
{
\usebackgroundtemplate{\includegraphics[height=\paperheight, width=\paperwidth]{../img/looking-ahead.jpg}}
% \setbeamersize{text margin left=30mm}
\begin{frame}[b]{}
\hspace*{0.5\linewidth}
\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
\hi{Próxima aula}
\begin{itemize}
\item Métodos derivados da aceitação e rejeição.
\item Alternativas para GNA baseado em relações entre v.a.
\end{itemize}
\hi{Avisos}
\begin{itemize}
\item Sabatina 04 com o conteúdo desta semana.
\end{itemize}
\vspace{3em}
\end{minipage}
\end{frame}
}
% %-----------------------------------------------------------------------
% \begin{frame}[t, fragile, allowframebreaks]
% \frametitle{Referências bibliográficas}
%
% \printbibliography[heading=none]
% \end{frame}
%-----------------------------------------------------------------------
\end{document}
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