Adiciona slides de metodos metropolis para GNA.

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\documentclass[serif, professionalfont, usenames, dvipsnames]{beamer}
\usepackage[T1]{fontenc}
% ATTENTION: preamble.tex contains all style definitions.
\input{config/preamble.tex}
% \usepackage[backend=bibtex, style=authoryear]{biblatex}
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<<include = FALSE>>=
source("config/setup.R")
@
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\title{Métodos baseados no aceitação e rejeição}
\subtitle{Amostrador independente e Metropolis Random Walk}
\date{\small{ \Sexpr{sprintf('Atualizado em %s', Sys.Date())}}}
%-----------------------------------------------------------------------
\begin{document}
{\setbeamertemplate{footline}{}
\frame{\titlepage} %--------------------------------------------------
}
\begin{frame}{}
{\large Justificativas}
\begin{itemize}
\item O método da aceitação e rejeição é útil, porém tem limitações.
\item Método baseados nele foram propostos e são utilizados em vários
contextos, principalmente em inferência bayesiana.
\end{itemize}
{\large Objetivos}
\begin{itemize}
\item Apresentar o método do amostrador independente.
\item Apresentar o método do Metropolis Random Walk.
\end{itemize}
\end{frame}
%-----------------------------------------------------------------------
\begin{frame}[allowframebreaks]{O amostrador independente}
% TODO: https://rpubs.com/mlanier/metro_paper
Objetivo: gerar números de uma v.a. $X$ a partir de valores de uma
v.a. canditada $Y$.
\begin{enumerate}
\item Escolher uma v.a. $Y$ para gerar valores candidatos para a
v.a. alvo $X$. O suporte de $Y$ deve conter o de $X$. Tem-se que ter
um GNA para $Y$. A função de densidade de ambas, $f_{X}(x)$ e
$f_{Y}(y)$ deve ser computável para todo $x$.
\item Fornecer um valor inicial $x_0 = y_0$.
\item Criar a variável contadora $i = 1$.
\framebreak
\item Gerar um valor $y_{i}$ com o GNA da v.a. $Y$.
\item Gerar um número uniforme $u$ vindo da $\text{U}(0, 1)$.
\item Calcular a probabilidade de aceitação
\begin{equation}
r = \frac{
\frac{f_X(y_i)}{f_X(x_{i-1})}
}{
\frac{f_Y(y_i)}{f_Y(x_{i-1})}
} =
\frac{f_X(y_i)}{f_X(x_{i-1})} \frac{f_Y(x_{i - 1})}{f_Y(y_i)} =
\frac{f_X(y_i)}{f_Y(y_i)} \frac{f_Y(x_{i - 1})}{f_X(x_{i-1})}.
\end{equation}
\item Se $u < r$, fazer $x_{i} = y_{i}$, caso contrário, fazer $x_{i} = x_{i - 1}$.
\item Incrementar $i$ em uma unidade.
\item Repetir de 4--8 até atingir o número desejado de valores de $X$.
\end{enumerate}
Código exemplo: \url{http://leg.ufpr.br/~walmes/ensino/ce089-2014-02/ce089-2014-02-aula06.html}.
\end{frame}
\begin{frame}{Aspectos importantes}
\begin{itemize}
\item A cadeia de números aleatórios irá apresentar valores repetidos.
\item Um número grande $n$ de valores de $X$ deve ser gerado para que
a distribuição seja apropriadamente representada (convergência da
cadeia).
\item Pode-se, ao final, reamostrar um número $m < n$ de valores para
ter uma amostra independente.
\item Tal amostragem pode ser sistemática, pegando um elemento a cada
$k$ consecutivos (raleamento).
\end{itemize}
\end{frame}
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\begin{frame}[allowframebreaks]{O Metropolis Random Walk}
% TODO: https://en.wikipedia.org/wiki/Metropolis%E2%80%93Hastings_algorithm
Objetivo: gerar números de uma v.a. $X$ a partir de valores de uma
v.a. canditada $Y$.
\begin{enumerate}
\item Escolher uma v.a. $Y$ para gerar valores candidatos para a
v.a. alvo $X$. O suporte de $Y$ deve ser da mesma natureza que
$X$. Tem-se que ter um GNA para $Y$. A função de densidade de ambas,
$f_{X}(x)$ e $f_{Y}(y)$ deve ser computável para todo $x$.
\item A v.a. $Y$ deve ter uma \textbf{função de densidade simétrica}.
\item Fornecer um valor inicial $x_0 = y_0$.
\item Criar a variável contadora $i = 1$.
\framebreak
\item Gerar um valor $y_{i}$ com o GNA da v.a. condicional $Y$, ou
seja, $f_{Y}(y|x_{i-1})$.
\item Gerar um número uniforme $u$ vindo da $\text{U}(0, 1)$.
\item Calcular a probabilidade de aceitação
\begin{equation}
r = \frac{f_X(y_i)}{f_X(x_{i - 1})}.
\end{equation}
\item Se $u < r$, fazer $x_{i} = y_{i}$, caso contrário, fazer $x_{i} = x_{i - 1}$.
\item Incrementar $i$ em uma unidade.
\item Repetir de 4--9 até atingir o número desejado de valores de $X$.
\end{enumerate}
Código exemplo: \url{http://leg.ufpr.br/~walmes/ensino/ce089-2014-02/ce089-2014-02-aula06.html}.
\end{frame}
%-----------------------------------------------------------------------
\begin{frame}{Aspectos importantes}
\begin{itemize}
\item Valem as mesmas considerações do amostrador independente.
\item Se a função de densidade da v.a. candidata não for simétrica,
uma modificação do cálculo da probabilidade de aceitação deve ser
feito.
\item Isso leva ao algorítimo de Metropolis-Hastings (mais geral).
\end{itemize}
\end{frame}
%-----------------------------------------------------------------------
{
\usebackgroundtemplate{\includegraphics[height=\paperheight, width=\paperwidth]{../img/looking-ahead.jpg}}
% \setbeamersize{text margin left=30mm}
\begin{frame}[b]{}
\hspace*{0.5\linewidth}
\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
\hi{Próxima aula}
\begin{itemize}
\item Casos especiais de GNA de números aleatórios.
\item GNA para a distribuição Normal.
\end{itemize}
\hi{Avisos}
\begin{itemize}
\item Sabatina estará disponível de Qui 12h00 ao Sáb 23h59.
\end{itemize}
\vspace{3em}
\end{minipage}
\end{frame}
}
% %-----------------------------------------------------------------------
% \begin{frame}[t, fragile, allowframebreaks]
% \frametitle{Referências bibliográficas}
%
% \printbibliography[heading=none]
% \end{frame}
%-----------------------------------------------------------------------
\end{document}
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