Adiciona slides de GNA de v.a. discretas.

parent 15c37d9e
......@@ -31,10 +31,14 @@ navbar:
href: slides/02-docum-codigo.pdf
- text: "GNA Uniformes"
href: slides/03-gna-uniforme.pdf
- text: "GNA de v.a. Discretas"
href: slides/04-gna-nao-uniforme.pdf
- text: "----------"
- text: "Arquivos complementares"
- text: "GNA Uniformes (2015)"
href: http://leg.ufpr.br/~walmes/ensino/ce089-2015-02/aula02_gna-2015-02.html
- text: "MTIP (2015)"
href: http://www.leg.ufpr.br/~walmes/ensino/ce089-2015-02/aula03_tip-2015-02.html
# - text: "Estruturas de controle"
# href: slides/01-estru-repet.html
# - text: "Teorema da Transformação da Probabilidade"
......
......@@ -33,7 +33,7 @@ source("config/setup.R")
\begin{itemize}
\item Simulação computacional de processos estocásticos depende da
geração de números aleatórios (GNA).
\item TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO
\item Inferência Bayesiana, jogos digitais, otimização estocástica também.
\end{itemize}
{\large Objetivos}
......
%-----------------------------------------------------------------------
\documentclass[serif, professionalfont, usenames, dvipsnames]{beamer}
\usepackage[T1]{fontenc}
% ATTENTION: preamble.tex contains all style definitions.
\input{config/preamble.tex}
% \usepackage[backend=bibtex, style=authoryear]{biblatex}
\addbibresource{config/refs.bib}
<<include = FALSE>>=
source("config/setup.R")
@
%-----------------------------------------------------------------------
\title{Geração de números não uniformes}
\subtitle{Variáveis discretas e contínuas}
\date{\small{ \Sexpr{sprintf('Atualizado em %s', Sys.Date())}}}
%-----------------------------------------------------------------------
\begin{document}
{\setbeamertemplate{footline}{}
\frame{\titlepage} %--------------------------------------------------
}
\begin{frame}{}
{\large Justificativas}
\begin{itemize}
\item A GNA Uniformes são o ponto de partida para GNA de outras
distribuições.
\item Do ponto de vista de simulação computacional, é importante
gerar números de todas as distribuições de probabilidade.
\end{itemize}
{\large Objetivos}
\begin{itemize}
\item Mostrar a GNA de v.a. discretas.
\item Introduzir abordagens para GNA de v.a. contínuas.
\end{itemize}
\end{frame}
%-----------------------------------------------------------------------
\begin{frame}{A distribuição uniforme discreta}
Se $X$ tem distribuição uniforme discreta com $k$ valores, o seu
suporte é o conjunto $x \in \{1, 2, \ldots, k\}$, $k \geq 2$. A função
de probabilidade é
\begin{equation}
p(x) = \frac{1}{k} \cdot I(x \in \{1, 2, \ldots, k\}).
\end{equation}
A função de probabilidade acumulada é
\begin{equation}
F(x) = \frac{x}{k}.
\end{equation}
A média e variância são
\begin{equation}
\text{E}(X) = \frac{k + 1}{2} \quad \text{ e } \quad \text{V}(X) = \frac{k^2 - 1}{12}.
\end{equation}
\myurl{https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_uniform_distribution}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]{Gráficos da uniforme discreta}
<<echo = FALSE, fig.dim = c(7, 4)>>=
x <- 1:5
px <- rep(1/length(x), length(x))
Px <- cumsum(px)
par(mfrow = c(1, 2))
plot(px ~ x,
type = "h",
ylim = c(0, 1/length(x) * 1.1),
xlab = "x",
ylab = "p(x)")
points(px ~ x, pch = 19)
plot(Px ~ x,
type = "s",
ylim = c(0, max(Px) * 1.1),
xlab = "x",
ylab = "F(x)")
points(Px ~ x, pch = 19)
layout(1)
@
\end{frame}
\begin{frame}{Números da uniforme discreta}
{\large Como gerar números da uniforme discreta?}
Por compartimentalização (\emph{data binnig}).
Gera-se números da v.a. uniforme $U \sim \text{U}(0, 1)$ e obtém-se
números da v.a. $X$ de distribuição uniforme discreta usando
\begin{equation}
X = \begin{cases}
1, & \text{se } U < 1/k \\
2, & \text{se } 1/k \leq U < 2/k \\
\vdots & \vdots \\
k, & \text{se } (k-1)/k \leq U < 1. \\
\end{cases}
\end{equation}
$\bigstar$ Expresse a equação acima usando a função de distribuição $F(x)$.
\end{frame}
%-----------------------------------------------------------------------
\begin{frame}{A distribuição Bernoulli}
Uma v.a. $X$ tem distribuição Bernoulli, $X \sim \text{Ber}(p)$ se sua
função de probabilidade é
\begin{equation}
p(x) = \begin{cases}
p & \text{, se } x = 1 \\
1 - p & \text{, se } x = 0,
\end{cases}
\end{equation}
em que $0 < p < 1$.
A média e variância são dados por
\begin{equation}
\text{E}(X) = p \quad \text{ e } \quad \text{V}(X) = p(1 - p).
\end{equation}
\end{frame}
\begin{frame}{Números da Bernoulli}
{\large Como gerar números da Bernoulli?}
Por dicotomização. Gere números $U \sim \text{U}(0, 1)$ e faça
\begin{equation}
X = \begin{cases}
1, & \text{se } U \leq p \\
0, & \text{se } U > p.
\end{cases}
\end{equation}
$\bigstar$ Expresse a equação acima usando a função de distribuição $F(x)$.
\end{frame}
%-----------------------------------------------------------------------
\begin{frame}{A distribuição geométrica}
Uma v.a. $X$ tem distribuição Geométrica se é o número tentativas até
que o primeiro sucesso seja obtido em uma série de provas
independentes de Bernoulli ($p$ constante). Assim
\begin{equation}
p(x) = (1 - p)^{x-1}\cdot p, \quad x \in 1, 2, \ldots; 0 < p < 1.
\end{equation}
Representamos por $X\sim \text{Geo}(p)$ onde
\begin{equation}
\text{E}(X) = 1/p \quad \text{ e } \quad \text{V}(X) = (1-p)/p^2.
\end{equation}
\end{frame}
\begin{frame}{Números da geométrica}
A função de distribuição da geométrica é
\begin{equation}
F(x) = 1 - (1 - p)^x
\end{equation}
\begin{center}
\begin{tabular}{llll}
\hline
$x$ & $p(x)$ & $\sum_x p(x)$ & $F(x) = 1 - (1 - p)^2$ \\ \hline
1 & $p$ & $p$ & $p$ \\
2 & $pq$ & $p + pq$ & $1 - q^2$ \\
3 & $pq^2$ & $p + pq + pq^2$ & $1 - q^3$ \\
$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
$\bigstar$ Reconhece algum padrão algébrico?
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]{Gerar números da geométrica}
<<eval = FALSE>>=
random_geo <- function(p) {
q <- 1 - p
pq <- p * q
x <- 1
Fx <- p
u <- runif(1)
while (u > Fx) {
x <- x + 1 # Incrementa x.
Fx <- Fx + pq # Calcula F(x).
pq <- pq * q # Atualiza.
}
return(x)
}
x <- replicate(10000, random_geo(p = 0.5))
plot(ecdf(x))
curve(pgeom(x - 1, p = 0.5), add = TRUE, type = "s", col = 2)
@
\end{frame}
% \begin{frame}
% Formalização dos conceitos
% \url{http://www.portalaction.com.br/simulacao-monte-carlo/metodo-da-transforma-inversa}
% \end{frame}
% \begin{frame}
% \myurl{http://www.leg.ufpr.br/~walmes/ensino/ce089-2015-02/aula03_tip-2015-02.html}
% \end{frame}
%-----------------------------------------------------------------------
{
\usebackgroundtemplate{\includegraphics[height=\paperheight, width=\paperwidth]{../img/looking-ahead.jpg}}
% \setbeamersize{text margin left=30mm}
\begin{frame}[b]{}
\hspace*{0.5\linewidth}
\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
\hi{Próxima aula}
\begin{itemize}
\item GNA de variáveis aleatórias contínuas.
\item Método da transformação integral da probabilidade.
\end{itemize}
\hi{Avisos}
\begin{itemize}
\item Sabatina 02 já está no Moodle!
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{frame}
}
% %-----------------------------------------------------------------------
% \begin{frame}[t, fragile, allowframebreaks]
% \frametitle{Referências bibliográficas}
%
% \printbibliography[heading=none]
% \end{frame}
%-----------------------------------------------------------------------
\end{document}
......@@ -25,6 +25,7 @@
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[shorthands=off,main=brazil]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{setspace}
......
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